Acgumen Của Số Phức Là Gì

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (437.85 KB, 6 trang )


Bạn đang xem: Acgumen của số phức là gì

III.ACGUMEN CỦA MỘT SỐ PHỨC KHÁC 03.1 Acgumen là gì ?Điều đó hoàn toàn xa lạ với các bạn về mặt ngôn ngữ, tuy nhiên chúng ta có thể tìm hiểuthông qua định nghĩa sau .1. Định nghĩaCho số phức z ≠ 0 và M là ảnh của z trong mặt phẳng phức.JJJJGJG JJJJGJGAcgumen của z là số đo của góc e1 , OM (đó là góc giữa 2 vectơ e1 và OM ). Kí hiệu là()Arg(z)Như vậy nếu θ là một acgumen của z thìarg(z) = θ + k 2π , k ∈ Z .arg(z) = θ + k 2πNgười ta thường coi acgumen là giá trị không âm nhỏ nhất của θ .Còn ký hiệu khác : arg(z) = θmodulo 2πHayarg(z) = θ( 2π )Ta thường ký hiệu tắt là Arg(z) = θ (hiểu ngầm là θ + k 2π )Ví dụVD1.Bằng hình vẽ, ta có thể dễ dàng xác định được các kết quả sau :arg(1) = 0arg(-1) = π
arg(2i) =π2arg(-3i) = −π23πarg(-1 + i) =4VD2.Số phức z = 2 + i có acgumen bằng bao nhiêu ?Giải :Đặt α = arg ( z )1 ⎞⎛ 2đặt z = 5 ⎜+i⎟,5⎠⎝ 521ảnh M1 của số phức+i
là một điểm55JG JJJJGJG JJJJJGcủa đường tròn lượng giác (bán kính bằng 1) và arg(z) = e1 , OM = e1 , OM 1Bởi vì z = 22 + 12 = 5 ,(21và sin α =.55Dùng máy tính sẽ tìm được α ≈ 0, 46radTừ đó suy ra cos α =) ()2. Sự bằng nhau của hai số phức⎧⎪ z = z "⎧z = z "⇔⎨⎨
⎩ z vaø z" khaÙ c 0⎪⎩arg ( z ) = arg ( z ")Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi mođun và acgumen tương ứng của chúng bằngnhau.3. Số phức liên hợp và số phức đốiDựa vào đồ thị trên ta sẽ được các hằng đẳng thức sau :arg z = − arg ( z )()arg ( − z ) = arg ( z ) + π( )arg − z = π − arg ( z )3.2 Dạng lượng giác của một số phức1. Định lí 5 :Cho số phức z = a + ib khác 0 với r = z và α = arg ( z ) .Nếu z được viết dưới dạng z = r ( cos α + i sin α ) (*) thì (*) được gọi là dạng lượnggiác của số phức z.Minh họaDễ thấy , nếu r và α tương ứng là môđun và acgumen của số phức z = a + ib thì :⎧22⎪r = a + b = z⎪
a⎪⎨cos α =r⎪b⎪⎪⎩sin α = rTừ công thức trên ta suy raa = r cos α vàb = r sin αDo đó số phức z = a + bi có thể viết dưới dạng mớiz = r ( cos α + i sin α )Trong đó r = z và α = arg ( z ) . Đó là dạng lượng giác của số phức z.Ngoài ra ta còn có thể xác định được sự liên hệ giữa M và M1 (với M1 thuộc đườngtròn lượng giác) như hình sauVí dụBiểu diễn dưới dạng lượng giác các số phức sau:a) z = -1 – ib) z = 4 + 3iGiảia) r = a 2 + b 2 = 1 + 1 = 2vì toạ độ của –1 - i nằm ở góc vuông thứ 3 của mặt phẳng phức nên :11sin α = −
cos α = −223πvà α = −−π 4⎛⎛ 3π2 ⎜ cos ⎜ −⎝ 4⎝b) Ta có :Vậy -1 – i =r=⎞⎛ 3π⎟ + i sin ⎜ −⎠⎝ 4⎞⎞⎟⎟⎠⎠a 2 + b 2 = 16 + 9 = 5
3⇒ α ≈ 36o 52 "44 + 3i = 5 ( cos 36o52 "+ i sin 36o 52 ")và tan α =trong đó z = 5 và argz ≈ 36o52 "Ngoài ra ta còn biểu diễn cách khác như sau :34 + 3i = 5 ( cos α + i sin α ) với tgα =42. Sự liên hệ giữa dạng lượng giác và dạng đại sốNhư ta đã biết dạng lượng giác của một số phức z là z = r ( cos α + i sin α ) và dạng đại sốlà z = a + ibVới z ≠ 0 ta luôn có : r = z = a 2 + b 2 ; cos α =ab; sin α =rr3. Chú ý :- Số phức 0 không có dạng lượng giác.- r và α được gọi là toạ độ cực của điểm M(z).- Số phức z có mođun bằng 1 là z = cos α + i sin α .Ví du
VD1 : Xác định dạng lượng giác của các số phức sau :a. 2 = 2 ( cos 0 + i sin 0 ) ; −5 = 5 ( cos π + i sin π )ππ⎞3π3π ⎞⎛⎛+ i sinb. 2i = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ; −i = 1⎜ cos⎟22 ⎠22⎠⎝⎝ππ⎞⎛c. 1 + i = 2 ⎜ cos + i sin ⎟44⎠⎝VD2 : Hãy tính mođun và acgumen cuả số phức z, sau đó viết dưới dạng lượng giác cuảnóa. cos α − i sin αb. −2 ( cos α − i sin α )
Giải :Bạn nên chú ý kĩ về dạng tổng quát của một số phức dưới dạng lượng giác, đó làz = r ( cos α + i sin α ) ( r>0 )a. cos α − i sin α = cos ( −α ) + i sin ( −α )với mođun cuả z bằng 1 và acgumen cuả z bằng −αb. −2 ( cos α − i sin α ) = 2 ⎡⎣cos (α + π ) + i sin (α + π ) ⎤⎦với mođun cuả z bằng 2 và acgumen cuả z bằng α + πVD3.2π2π ⎞⎛+ i sinBiểu diễn : z = 2 ⎜ cos⎟ dưới dạng đại số33 ⎠⎝Giả sử z = x + iy2πTa có : r = 2, α =32π= −1x = rcos α = 2 cos32πvà y = r sin a = 2sin
= 3.3Vậy : z = -1+ i 33.3 Các phép toán trên acgumenĐịnh lí 6Với mọi số phức z và z’ khác 0 ta luôn có:arg ( zz ") = arg ( z ) + arg ( z ")Chứng minh :Ta có z = r ( cos α + i sin α ) và z " = r " ( cos α "+ i sin α ") (r > 0 và r’ > 0)zz " = rr " ⎡⎣( cos α cos α "− sin α sin α ") + i ( sin α cos α "+ cos α sin α ") ⎤⎦ Bằng công thức cộngtrong lượng giác ta được :zz " = rr " ⎡⎣cos (α + α ") + i sin (α + α ") ⎤⎦Vì r,r’ > 0 nên theo dạng lượng giác của một số phức ta được α + α " = arg ( zz " ) + k2πVậy arg ( zz ") = arg ( z ) + arg ( z ") + k2πHệ quả :⎛1⎞Với mọi số phức z và z’ khác 0 và n là số tự nhiên ta luôn có arg ⎜ ⎟ = − arg ( z ) ;⎝z⎠⎛z⎞arg ⎜ ⎟ = arg ( z ) − arg ( z ") ;⎝ z"⎠arg ( z n ) = n arg ( z ) .Ví dụVD1 :

Xem thêm: Tải Game 7 Viên Ngọc Rồng Offline Bản Đầy Đủ Nhất Cho Pc, Dragon Ball Origins

ππ⎞5π5π ⎞⎛⎛Cho : z1 = 4 ⎜ cos + i sin ⎟ và z2 = 2 ⎜ cos+ i sin⎟33⎠66 ⎠⎝⎝7π7π ⎞⎛Ta có : z1 z2 = 8 ⎜ cos+ i sin⎟ .66 ⎠⎝(VD2 : Tính 1 + i 3
)5Giải : 1 + i 3 có mođun bằng 2 và acgumen bằngπ3()5. Từ đó ta có : 1 + i 3 có mođun5π. Từ đó suy ra35⎛15π5π ⎞3⎞⎛1 + i 3 = 32 ⎜ cos+ i sin⎟ = 16 1 − i 3
⎟ = 32 ⎜⎜ − i33 ⎠2 ⎟⎠⎝⎝2- Nhận xét : dựa vào tính chất của mođun và acgumen ta đã tính toán luỹ thừa trên mộtcách nhanh chóng , còn không các bạn khai triển luỹ thừa bậc 5 của nhị thức trên , bàitoán sẽ khá dài .VD3 : Giải phương trình có dạng : z3 = 1Đặt r = z và α = arg ( z ) , vấn đề đặt ra là cần xác định r và αlà 25 và acgumen bằng()()Mođun của z = r 3 và arg ( z 3 ) = 3α3Vì 1 = 1 và arg (1) = k 2π . Áp dụng điều kiện bằng nhau của hai số phức , ta có :⎧r = 1 (r ∈ R; r > 0)⎧⎪r 3 = 1⎪⇔⎨2 kπ
⎨⎪⎩α = 3 ( k ∈ Z )⎩⎪3α = 2kπ ( k ∈ Z )Vậy phương trình trên có 3 nghiệm có mođun là 1 và acgumen lần lượt là 0 ,Tập nghiệm của phương trình trên được biểu diễn dưới dạng đại số :⎧⎪1313 ⎫⎪S = ⎨1 ; − + i; − −i⎬.2222 ⎪⎭⎪⎩1313- Chú ý : Nếu đặt j = − + i.thì j = − − i2222
*
luy thua cua 1 so huu ti.ppt 12 465 0
*
ChIV - bài 1 : Số phức 8 329 0
*
ANH CUA 1 SO VAT QUA TKINH 18 289 0
*
boi va uoc cua 1 so nguyen 16 535 0
*
CODE -KEY CỦA 1 SỐ PM 1 267 0
*
phân tích những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - hướng khắc phục 22 2 1